sin(x) + cos(x) = a/sin(x)Решить при a = 0 и при

Question

Вопросы-ответы » Алгебра

sin(x) + cos(x) = a/sin(x)Решить при a = 0 и при

Sin(x) + cos(x) = a/sin(x)
Решить при a = 0 и при всех значениях параметра a.

Задать свой вопрос

Кечер Инна 2019-03-22 05:59:00

в правой доли стоит a, делённое на синус икс?

Аделина Шекарова 2019-03-22 05:59:57

Да

Dzirns Nadja 2019-03-22 05:57:22

в правой доли стоит a, делённое на синус икс?

Anatolij 2019-03-22 06:02:37

Да

Виталий Шуголь
Алгебра
2019-03-22 05:53:20
0
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

першого i иного дня кабан проспав 25 мультфiльмiв другого i третього

Выполните деяния:19.25*5/11+5.76*5.12-13.009

движущееся тело массы M распадается на два осколка с импульсами p1

Помогите написать рассказ на тему занимательный случай пожалуйста

Скажите пожалуйста главные действия рассказа Чехова quot;Толстый и Тонкийquot;.Можно и главную

9x-7=6х+14Решите пожалуйста С решение ответьте ,просто учите на лето халатик ,а

составе трудное предложение со словом самопознание и лёгкое предложение со словом

Вырази в см: 9060мм, 70 м 1 дм, 1 км

Выпиши слова со гулкой согласной на конце рядом Запиши проверочное слово

Для чего нужен политический институт?

Диана Шепелюгина · Answer 1 · 2019-03-22 06:01:04+3:00

Рассмотрим случай, когда $a = 0$

получаем уравнение
$sin x + cosx = 0$ - однородное тригонометрическое уравнение. Такие уравнения обычно решаются путём разделения обеих долей на $sin x$ либо на $cos x$ . Поделим на косинус.

$\fracsinxcosx + 1 = 0 \\ tgx + 1 = 0 \\ tg x = -1 \\ x = - \frac \pi 4 + \pi n$

P.S.: здесь надобно тормознуть и отметить, почему можно поделить на синус, или косинус. Как мы знаем, имеем право делить лишь на выражения, которые нигде в собственной области определения не обращаются в 0. Почему косинус нигде не обратится в 0? Предположим оборотное. Пусть $cos x = 0$ . Но тогда из самого уравнения обретаем, что и $sin x = 0$ . Может ли такое быть? Нет, не может. В силу основного тригонометрического тождества $sin^2x = 1 - cos^2 x = 1 - 0 = 1$ - противоречие. Потому косинус Везде отличен от 0 и можно на него поделить, что мы и сделали.

Пусть теперь $a \neq 0$ . Тогда у нас имеется уравнение вида:
$sin x + cos x = \fracasinx$
Помножим обе доли на $sin x$ с условием, очевидно, что $sin x \neq 0$
Имеем систему:
$\left \ sin^2x+sinxcosx = a \atop sin x \neq 0 \right.$
Разбираемся с первым уравнением. Оно тоже однородное(сводится к нему), только уже второй степени.

$sin^2 x + sinxcosx = a( sin^2x + cos^2x) \\ sin^2 x - a sin^2 x + sinxcosx - a cos^2 x = 0 \\ (1-a) sin^2 x + sinxcosx - a cos^2 x = 0$

Здесь уже хорошо видно, что если $a = 1$ ,то уравнение имеет вид:

$sin xcosx - cos^2 x = 0 \\ cosx(sinx - cos x) = 0$
Отсюда $cos x = 0$                    либо              $sinx - cos x = 0$
             $x = \frac \pi 2 + \pi n$                   $ctg x = 1 \\ x = \frac \pi 4 + \pi k$

Заключительнее уравнение тоже однородное, мы поделили на $sin x \neq 0$ . Решения первого уравнения также удовлетворяют неравенству, так как если cos x = 0, то sin x = 1.

Пусть $a \neq 1$ Тогда разделяем обе доли на $sin^2 x \neq 0$
$1-a + \fraccosxsinx - a \frac cos^2x sin^2 x = 0 \\ a ctg^2 x - ctgx + a - 1 = 0$
Пусть ctg x = t
$a t^2 - t + a - 1 = 0$ .
Это уравнение является квадратным, так как $a \neq 0$ Его дискриминант
$D = 1 - 4a(a-1) = 1 - 4 a^2 + 4a = -(4 a^2 - 4a - 1)$
Дальше осмотрим такие случаи:
1) $D \ \textless \ 0$ , тогда квадратное уравнение условно котангенса не имеет корней. начальное уравнение не имеет корней. Это произойдёт при:
    $-(4 a^2 -4a-1) \ \textless \ 0 \\ 4 a^2 - 4a - 1 \ \textgreater \ 0$
Отыскиваем корешки квадратного трёхчлена:
      $D = 16 + 16 = 32 \\ x_1,2 = \frac4+- \sqrt32 8 = \frac1+- \sqrt2 2$
Решая неравенство, получаем, что при
   $a$ $(-$ $, \frac1- \sqrt2 2 )$ $( \frac1+ \sqrt2 2 ,$ + $)$ начальное уравнение не имеет решений.

2)Если же $D \ \textgreater \ 0$ , то есть $4 a^2 -4a-1 \ \textless \ 0$ ,
что происходит при $a$ $( \frac1- \sqrt2 2 , 0)$ $(0,1)$ $(1, \frac1+ \sqrt2 2)$ ,то квадратное уравнение имеет два разных корня:
$t_1,2 = \frac1+- \sqrt1 - 4 a^2 + 4a 2a$
Возвращаемся назад к x:
$ctg x = \frac1+ \sqrt1 - 4 a^2 + 4a 2a$
       $x = arcctg(\frac1+ \sqrt1 - 4 a^2 + 4a 2a) + \pi n$
                                                           либо
    $ctg x = \frac1- \sqrt1 - 4 a^2 + 4a 2a \\ x = arcctg(\frac1- \sqrt1 - 4 a^2 + 4a 2a) + \pi k$

     Вписываются ли эти серии в условие $sin x \neq 0$ ?
Пусть $sin x = 0$ . Тогда из уравнения моментально получаем, что
                                            $acosx = 0$
         , откуда либо a = 0(мы теснее рассмотрели его), или $cos x = 0$ (что невероятно). То есть, все наши серии являются решениями уравнения при всех обозначенных а.

3)Осталось осмотреть две граничные точки(при которых D = 0).
        а)Если $a = \frac1+ \sqrt2 2$ , то
           $t = \frac12a = \frac11+ \sqrt2 \\ ctg x = \frac11+ \sqrt2 \\ x = arcctg( \frac11+ \sqrt2 ) + \pi n$ - тут тоже синус очевидно отличен от 0.
        б)Если $a = \frac1 - \sqrt2 2$ , то
             $t = \frac12a = \frac11- \sqrt2 \\ ctg x = \frac11- \sqrt2 \\ x = arcctg( \frac11- \sqrt2 ) + \pi n$

Таким образом, можем записать ответ к задачке в таком виде:
Ответ: при $a \ \textless \ \frac1- \sqrt2 2$ - уравнение не имеет решений; при $\frac1- \sqrt2 2 \leq a \ \textless \ 0$ уравнение имеет две серии решений $x_1,2 =$ $arcctg(\frac1+- \sqrt1-4 a^2 +4a 2a ) + \pi n$ ; при $a = 0$ уравнение имеет единственную серию решений
$x = - \frac \pi 4 + \pi n$ ; при $0 \ \textless \ a \leq \frac1+ \sqrt2 2$ подобно $amp;10;x_1,2 = arcctg( \frac1+- \sqrt1-4 a^2 +4a 2a )$ ; при $a \ \textgreater \ \frac1+ \sqrt2 2$ решений нет.

О проекте

sin(x) + cos(x) = a/sin(x)Решить при a = 0 и при

Добро пожаловать!