Сократи дробь 4x^2-7x+3/x^3+1

К примеру, как уменьшить дробь

\[\fraca - bb - a?\]


Для начала вспомним, как от выражения (a-b) перейти к выражению (b-a). Для этого нужно вынести минус за скобки (при этом все знаки слагаемых в скобках изменятся на противоположные):

\[a - b = - (b - a)\]

В дроби вынести минус за скобки можно либо в числителе, либо в знаменателе. По свойству алгебраических дробей, символ минус можно вынести перед дробью:

\[\fraca - bb - a = \fraca - b - (a - b) = \frac - (b - a)b - a = - \fraca - ba - b\]

В данном образце числитель и знаменатель дроби уменьшаем на (a-b):

\[\fraca - bb - a = - \fraca - ba - b = - 1.\]

Осмотрим иные образцы сокращения алгебраических дробей такого вида.

\[1)\frac4ab - 2b^2ab - 2a^2\]

Уменьшать можно только множители!

В числителе и знаменателе дроби многочлены. Чтобы сократить дробь, надобно разложить многочлены на множители. В числителе есть общий множитель 2b, в знаменателе a. Вынесем их за скобки:

\[\frac4ab - 2b^2ab - 2a^2 = \frac2b(2a - b)a(b - 2a) = \]

Выражения, стоящие в скобках в числителе и в знаменателе, отличаются только знаками. Вынесем знак минус перед дробью, например, из знаменателя (при этом все знаки слагаемых, стоящих в скобках, поменяются на обратные):

\[ = - \frac2b(2a - b)a(2a - b) = - \frac2ba;\]

После чего уменьшаем дробь на общий делитель (2a-b).

\[2)\frac14 - 2mm^2 - 49\]

В числителе выносим общий множитель 2 за скобки, знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов:

\[\frac14 - 2mm^2 - 49 = \frac2(7 - m)(m - 7)(m + 7) = \]

Вынесем минус перед дробью, к примеру, из числителя:

\[ = - \frac2(m - 7)(m - 7)(m + 7) = - \frac2m + 7;\]

Уменьшаем дробь на (m-7).

\[3)\fracxy - 3y - 2x + 618 - 6x\]

В числителе 4 слагаемых. Группируем 1-ое слагаемое со вторым, третье с четвертым. В знаменателе выносим общий множитель 6 за скобки:

\[\fracxy - 3y - 2x + 618 - 6x = \frac(xy - 3y) + ( - 2x + 6)6(3 - x) = \]

В числителе выносим общие множители за скобки: из первых скобок y, из вторых -2, потом (x-3):

\[ = \fracy(x - 3) - 2(x - 3)6(3 - x) = \frac(x - 3)(y - 2)6(3 - x) = \]

Уменьшаем дробь на (x-3):

\[ = - \frac(x - 3)(y - 2)6(x - 3) = - \fracy - 26 = \]

Если после сокращения перед дробью остался минус, а в числителе или знаменателе есть разность, минус надобно внести в разность (при этом знаки слагаемых поменяются на противоположные). Вносим - в числитель, -(y-2)=2-y:

\[ = \frac2 - y6;\]



\[(a - b)^2 = ( - (b - a))^2 = (b - a)^2\]

Соответственно,

\[\frac(a - b)^2(b - a)^2 = \frac(a - b)^2(a - b)^2 = \frac(b - a)^2(b - a)^2 = 1.\]

То есть, чтоб сменить знаки слагаемых в квадрате разности, минус за скобки (и перед дробью) выносить не нужно. Это правильно не только для квадрата разности, но и для хоть какой иной четной ступени:

\[(a - b)^2n = (b - a)^2n.\]

В случае возведения разности в нечетную ступень при смене знаков слагаемых символ минус за скобки выносить нужно:

\[(a - b)^2n + 1 = - (b - a)^2n + 1.\]

Примеры.

\[4)\frac81x^2 - 180xy + 100y^2100y^2 - 81x^2 = \]

В числителе полный квадрат разности, в знаменателе разность квадратов. Раскладываем на множители:

\[ = \frac(9x - 10y)^2(10y - 9x)(10y + 9x) = \]

Удобнее поменять знаки слагаемых вверху, так как при этом не необходимо изменять символ перед дробью:

\[ = \frac(10y - 9x)^2(10y - 9x)(10y + 9x) = \]

Уменьшаем дробь на (10y-9x):

\[ = \frac10y - 9x10y + 9x;\]

\[5)\frac(b - 4)^3(4 - b)^7 = \]

Вынесем символ минус перед дробью, к примеру, из знаменателя:

\[ = - \frac(b - 4)^3(b - 4)^7 = \]

Уменьшаем на (b-4):

\[ = - \frac1(b - 4)^4.\]

Сокращение дробей в алгебре важная сочиняющая часть сложения, вычитания, умножения и разделенья алгебраических дробей. Упрощать рациональные выражения приходится при решении уравнений, неравенств, задач и т.д.

Дальше мы будем рассматривать действия над алгебраическими дробями.