1) знаменито что а кратно 3, а б кратно 2. докажите,

1)Если а кратно 3, то 2*а кратно 3*2 = 6.

Если b кратно 2, то 3*b кратно 2*3 = 6

Итак, 2*а + 3*b кратно 6.

2)Пусть a - целое число.

a^2-a=a(a-1). Проанализируем наш результат.

Если a нечетное, то a-1 - четное, а означает и творение четно.

Если a четно, то творенье в любом случае будет четно.

3)Число делится на 10, если заключительная цифра 0

1^3 последняя цифра 1

2^3 заключительная цифра 8

3^3 последняя цифра 7

4^3 последняя цифра 4

5^3 заключительная цифра 5

6^3 заключительная цифра 6

7^3 заключительная цифра 3

8^3 заключительная цифра 2

9^3 заключительная цифра 9

Складывая все эти числа, получаем, что последняя цифра 5 =gt;

=gt; число  1^3+2^3+3^3+...+9^3 не делится на 10

4)не знаю

5)a+1/a = a+2+1/a-2 = a+2*a*1/a+1/a-2 = (a+1/a)-2  

Т. к. a+1/a - целое, то и (а+1/а) - тоже целое и значит (a+1/a)-2 - тоже целое.  

6)Если каждый из 27 воспитанников будет связан дружбой с 9 иными, то общее количество связей обязано быть9 27 и это число необходимо поделить на 2, так как каждую связь посчитали дважды.

(9 27) - это нечётное число, в сомножителях отсутствует 2. Значит, такового количества связей быть не может.

Ответ: Каждый из воспитанников не может дружить с 9 одноклассниками.