еще одно задание на МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Стратегия простая: надобно продолжать тащить шары до тех пор, пока матожидание выигрыша при перевытягиваниях больше, чем номинал вытянутого шара. Осталось выучиться считать такие матожидания.

Будем осматривать ситуацию, в которой в мешке осталось n шаров с номиналами a1, a2, ..., an, и k попыток вытянуть шар.

k = 1: всё явно, матожидание выигрыша просто среднее арифметическое (a1 + a2 + ... + an)/n.

k = 2: пусть выпало некое as. В соответствии с выбранной стратегией если as не меньше, чем среднее арифметическое оставшихся в мешке шаров (случай k = 1), то надобно тормознуть, по другому перевытянуть шар. Каждый шар можно вытянуть с одинаковой вероятностью 1/n, потому матожидание числа очков при 2-ух вытягиваниях одинаково
$\displaystyle\frac 1n\sum_s=1^n\max\left(a_s,\frac 1n-1\left(\sum_i=1^na_i-a_s\right)\right)=\\=\frac1n\sum_i=1^na_i+\frac1n(n-1)\sum_s=1^n\max\left(0,\sum_i=1^na_i-na_s\right)$
Заметим, что условие перевытягивания можно переписать так:
$\displaystyle a_s\ \textless \ \frac 1n \sum_i=1^na_i$

k = 3, здесь теснее матожидание считать не нужно, а надобно сравнивать числа с матожиданием при перевыборе. Заметим, что с ростом номинала вытянутого шара матожидание количества очков при перевыборе убывает, так что стратегия на первом шаге имеет обычный вид "если выпал шар с номиналом не меньше x, оставляем, иначе перевытягиваем", нужно только отыскать x. Заметим, что если первым вытянут шар 14, то матожидание при перевытягиваниях равно 14 5/36, а если 16, то 13 7/9. Потому стратегия может звучать так:
Если первым выжги шары 16, 18 либо 20, не поменять выбор, по другому перевытягивать. Если при втором выборе выпал шар, номинал которого не больше среднего арифметического оставшихся в мешке шаров, то перевытянуть ещё раз, иначе оставить.

Выписываем очевидно:
1-ый шар 12 или меньше: перевытянуть. 2-ой шар 12 либо меньше: перевытянуть.
Первый шар 14: перевытянуть. Второй шар 10 либо меньше: перевытянуть.
Первый шар 16 либо больше: оставить.

О проекте

еще одно задание на МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Добро пожаловать!