Участок в форме прямоугольника площадью 2 га огорожен забором. Найдите стороны

2 га = 20000 м

Наивысшую площадь при данном периметре будет иметь квадрат. Следовательно, при данной площади минимальный периметр также будет у квадрата.

Сторона такового квадрата: а = 20000 = 1002 141,42 (м)

Периметр, соответственно:

       Р = 4а = 4*1002 = 4002 565,68 (м)

Попытаемся в этом убедиться:

Площадь участка:  ab = 20 000 =gt;  b = 20 000/a,

где a и b - стороны участка.

Периметр участка:

Р = 2(a + b) = 2(a + (20000/a)) = 2a + 40000/a

Исследуем функцию P(a) c поддержкою производной

P'(a) = 2 (40000/a)

P'(a) = (2a 40000)/a

P'(a) = 0

2a 40000 = 0

a = 20000

a = 20 000 = 1002 (м)

b = 20 000/1002 = 200/2 = 2002/2 = 1002 (м)

Таким образом, разыскиваемый прямоугольник с наименьшим периметром при заданной площади, вправду является квадратом со стороной а = b = 1002 (м).

PS. Если требуется отыскать точное значение длин сторон, то, максимально приближенный к квадрату прямоугольник с площадью 20000 м будет иметь стороны 125 м и 160 м.

Периметр такового прямоугольника:  Р = 2*285 = 570 (м)

Площадь: S = 125*160 = 20000 (м)