Огромное количество А содержит 101 элемент. Обоснуйте, что количество его подмножеств, которые

Сопоставим каждому подмножеству B, состоящему из четного числа частей, подмножество C, приобретенное выкидыванием из A частей, принадлежащих B. Так как в A нечетное число частей, а в B четное число частей, в С будет нечетное число частей. В итоге все подмножества разобьются на сходственные пары подмножеств. Поэтому подмножеств, состоящих из четного числа частей столько же, сколько подмножеств, состоящих из нечетного числа частей.

Для тех, кому мое рассуждение показалось трудным, рассмотрю пример с наименьшим числом частей. Пусть, скажем, в A 5 частей: A=a, b, c, d, e. Подмножеству a, b соответствует подмножество c, d, e, подмножеству a, c подходит подмножество b, d, e, подмножеству a, b, c, d подходит подмножество e, и так далее. Пустому подмножеству (в нем ноль частей) подходит само огромное количество A.

Разобьем все подмножества на пары (B,C), где B пробегает подмножества, состоящие из четного числа частей, а C -- это подмножество, состоящее из тех частей, которые не попали в B. Так как в A нечетное число частей, в C будет нечетное число элементов.