Провести полное исследование функции и построить график: y=12x/(9+x^2)

Изучить функцию f (x) = 12x/(9+x) и выстроить ее график.

Решение:

1. Область определения функции - вся числовая ось, так как знаменатель не может быть равен нулю.

2. Функция f (x) = 12x/(9+x) постоянна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 f(x) = 12*(x)/(9+(x)) = (12x(9+x)) = f(x).

Функция является нечетной. График функции симметричен условно начала координат.

Функция непериодическая.

4. Точки скрещения с осями координат:

Ox: y=0, 12x/(9+x) = 0  x=0. Значит (0;0) - точка скрещения с осью Ox.

 Oy: x = 0 y = 0. Значит (0;0) - точка скрещения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Обретаем производную данной функции.
f(x)=(12x/(9+x))==((12x)(9+x)12x(9+x))/(9+x)==(12(9+x)12x(x))(9+x)==((12(9+x)24xx)/(9+x)Ответ:f(x)=(12(9+x2)24x)(9+x) = (12(9-x))/(9+x).
Приравниваем её нулю (довольно числитель):
12(9-х) = 0, 9 = х, х = +-3.

 x = 3, x = -3  критичные точки.

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция подрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого глядим как водит себя функция в экстремумах при мельчайшем отклонении от экстремума:
Минимум функции в точке:
x_1 = -3
Максимум функции в точке: x_2 = 3.
Где производная положительна - функция подрастает, где отрицательна - там убывает. 
Убывает на промежутках (-oo, -3] U [3, oo).
Возрастает на промежутке  [-3, 3].

6. Найдем точки перегибов, для этого надобно решить уравнение

(2-ая производная приравнивается нулю),
корни приобретенного уравнения будут точками перегибов для обозначенного графика функции: 
2-ая производная 
Приравниваем нулю и решаем это уравнение.

Для дроби довольно нулю приравнять числитель:

24x(x-27) = 0.

Решаем это уравнение: х = 0, х - 27 = 0
Корешки этого уравнения: х = 0. х = 27 =33,  х = -27 = -33.

7. Интервалы неровности и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на интервалах

[-3*sqrt(3), 0] U [3*sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -3*sqrt(3)] U [0, 3*sqrt(3)]

8. Разыскиваемый график функции дан в прибавлении.