Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 6, а сумма квадратов членов этой

Пусть b1,b2,.....,bn,....... - члены прогрессии, а q - её знаменатель. Сумма прогрессии S=b1/(1-q). По условию, b1/(1-q)=6. Сразу по условию S1=b1+b2+........+bn+........=12. Но S=b1*(1+q+q+q........), а S1=b1*(1+q+q+q+.......). Получена система уравнений:

b1*(1+q+q+q........)=6
b1*(1+q+q+q+.......)=12

Возведём первое уравнение в квадрат:

b1*(1+q+q+q........)=36
b1*(1+q+q+q+.......)=12

Разделив сейчас 1-ое уравнение на 2-ое, придём к уравнению относительно q: (1+q+q+q+......)/(1+q+q+q+......)=3. Но в скобках числителя  - неисчерпаемая геометрическая прогрессия со знаменателем q, её сумма S2=1/(1-q). В скобках знаменателя - безграничная геометрическая прогрессия со знаменателем q, её сумма S3=1/(1-q). Отсюда следует уравнение (1-q)/(1-q)=3, которое приводится к квадратному уравнению 2*q-3*q+1=0. Решая его, находим q1=1 и q2=1/2. Но при q=1 сумма прогрессии была бы равна бесконечности, потому q=1/2. Ответ: 1/2.