Помогите вычислить определённый интеграл

Question

Вопросы-ответы » Алгебра

Помогите вычислить определённый интеграл

Задать свой вопрос

Ангелина Жулева
Алгебра
2019-04-07 23:24:16
0
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Как отыскать косинус 1 угла в прямоугольном треугольнике, если известен косинус

1) Антон и Иван направились навстречу друг другу из 2-ух пт,

Помогите с физикой С какой силой тяготения тело притягивается к Земле

какую часть оперы солист выполняет один?

Полёт астронавта Юрия Гагарина длился 108 минут. Сколько часов и минут

Сочини считалку:1,2,3,4 руки ........,ноги....... 9,8,7,6,5-выходи со мной.....

У шкльну дальню завезли картоплю, капусту та моркву. Картопля становила 60%

Спростть вираз, знайдть його значення.2x (x+y) - y (2x-y) -

Помогите пожалуйста. Площади 2-ух равнобедренных прямоугольных треугольников относятся как

9 класс 179 !!!!!!!!!!!!

Tatjana Pochitaeva · Answer 1 · 2019-04-07 23:32:32+3:00

Есть 2 способа вычислить этот интеграл: сложный и простой.

Сложный метод: вычислить неопределенный интеграл, подставить в приобретенное выражение границы:1) x=1 и 2) х=-1, вычесть их.

$\int\limits^1_-1 x \sqrt2-x^2 \, dx = \frac12 \int\limits^1_-1 \sqrt2-x^2 \, d(x^2) = \\ \\ = - \frac12 \int\limits^1_-1 \sqrt2-x^2 \, d(2-x^2) = \\ \\ = - \frac12 \int\limits^1_-1 (2-x^2)^ \frac12 \, d(2-x^2) = \\ \\ = - \frac12 ( \frac(2-x^2)^ \frac32 \frac32 )^1_-1 = - \frac13 (2-x^2)^ \frac32 ^1_-1 = \\ \\ =- \frac13 (2-1 - (2 -1)) =- \frac13 *0=0$

Обычный метод через свойство определенного интеграла: если под интегралом стоит нечетная функция и интервал интегрирования симметричен условно x=0, то значение определенного интеграла одинаково 0.
$f(x)=x \sqrt2-x^2 \\ \\ f(-x)=(-x) \sqrt2-(-x)^2 =-x \sqrt2-x^2 = -f(x)$
Как следует, функция $x \sqrt2-x^2$ - нечетная
Интервал [-1; 1] симметричен относительно x=0, поэтому определенный интеграл
$\int\limits^1_-1 x \sqrt2-x^2 \, dx =0$

Графическое объяснение на рисунке
Определенный интеграл - это площадь криволинейной фигуры с данными границами.
Голубая линия - это функция $f(x)=x \sqrt2-x^2$ . Функция нечетная, потому симметрична условно точки (0; 0). Если график повернуть на 180, то он вполне совпадет.
Границы промежутка x=[-1;1] помечены красным цветом.
Когда считаем определенный интеграл, то, подставив верхнюю границу получаем площадь, закрашенную зеленым цветом.Подставив нижнюю границу, получаем площадь, закрашенную розовым цветом. Необходимо отнять из зеленоватой площади розовую. Т.к. они равны, то в итоге получается 0.

$\int\limits^1_-1 x \sqrt2-x^2 \, dx = 0$

О проекте

Помогите вычислить определённый интеграл

Добро пожаловать!