(2+x)dy - (1+y)dx=0 ; y(o)=5

Это дифференциальное уравнение с разделимыми переменными.
(2+x)dy - (1+y)dx=0    перенесём штуковину с dx на право
(2+x)dy=(1+y)dx     разделим всё уравнение на (2+x)(1+y)
dy/(1+y)=dx/(2+x)     проинтегрируем обе доли уравнения
dy/(1+y)=dx/(2+x)     получаем
1+y=2+x+С     С-шку превратим в логарифм
1+y=2+x+е^С     упростим обе части
1+у=(2+x)е^С     ещё чуть-чуть упростим
у=(2+x)е^С -1 - общее решение.
Беря во внимание то, что y(0)=5, имеем
5=2е^С-1     упростим
2е^С=6     упростим
е^С=3     найдём С-шку
С=3, отсюда
у=(2+x)е^(3) -1     упростим
у=3(2+х)-1, то есть
у=3х+5 - приватное решение.
Ответ: у=3х+5.