Можно ли раскрасить все натуральные числа в 3 цвета так,чтоб сумма

Можно. К примеру так:
1 цветом покрасим все числа кратные 3, вторым дающим при дробленьи на 3 остаток 1,а третьим цветом дающие при разделении на 3 остаток 2 соответственно. Вправду сумма любых 4 чисел кратных 3 делиься на 3,сумма всех 4 чисел дающих при разделеньи на 3 остаток 1 ,тоже дает остаток 1,тк 1+1+1+1=3+1,тоже можно сказать про остаток 2. 2+2+2+2=2*3 +2. То есть тоже дает остаток два. Таким способом можно сказать что все естественные числа можно разбить на n цветов ,так чтоб сумма всех n+1 одного цвета давало тот же цвет. Разбив по остаткам все числа.