150 баллов. Пожалуйста, подробно!

150 баллов. Пожалуйста, досконально!

Задать свой вопрос
2 ответа
*****************************
ответ а=0
решение во вложении
Оо, знакомая задачка. Решал накануне.

Заметим, что
a + 2\sqrta + 1 = (\sqrta + 1)^2

Отсюда растёт подмена: \sqrta + 1 = t \geqslant 1

Отсюда получаем это:
f(x) = \dfract - 2 \cos xt^2 + \sin^2 x

Заметим, что функция непрерывна (знаменатель у неё никогда не обращается в ноль). Дальше, производная такая:

f'(x) = \ldots = \dfrac2\sin x (t^2 + \sin^2 x) - 2 \sin x \cos x(t - 2\cos x)(t^2 + \sin^2x)^2 = \\ \\ \\ =amp;10;\dfrac2\sin x(t^2 + \sin^2 x - t \cos x + 2 \cos^2 x)(t^2 + \sin^2 x)^2 = \\ \\ \\ =amp;10;\dfrac2\sin x(t^2 - t \cos x + 1 + \cos^2 x)(t^2 + \sin^2 x)^2 = \dfrac2 \sin x \left[t(t - \cos x) + 1 + \cos^2x\right](t^2 + \sin^2 x)^2

Заметим, что t(t - \cos x) \geqslant 0, а этого довольно для того, чтоб t(t - \cos x) + 1 + \cos^2x gt; 0 при всех x. Из этого следует, что корешки у производной такие же, как и у \sin x.

В силу непрерывности функции, нам нужно, чтоб \begincases \max \limits_\mathbb R f(x) \geqslant 3, \\ \min \limits_\mathbb R f(x) \leqslant 2 \endcases.

Осмотрим производную: она имеет таковой же символ, как и у функции \sin x. Означает, максимумы достигаются в точках x = \pi + 2\pi k, а минимумы в точках x = 2\pi k.

\max \limits_\mathbb R f(x) = f(\pi + 2\pi k) = \dfract - 2 \cos (\pi + 2\pi k)t^2 + \sin^2 (\pi + 2\pi k) = \dfract + 2t^2, \\ \\ \\amp;10;\min \limits_\mathbb R f(x) = f(2\pi k) = \dfract - 2t^2

Отсюда система неравенств:
\begincases \dfract - 2t^2 \leqslant 2, \\ \\ \dfract + 2t^2 \geqslant 3 \endcases.

Решив нижнее, находим t \leqslant 1; но так как по построению подмены t \geqslant 1, то решением является t = 1. Подставляя его в верхнее неравенство, получаем верное неравенство. Следовательно, t = 1, \quad \sqrta + 1 = 1, \quad a = 0.

Ответ: 0

, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Последние вопросы

Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт