обоснуйте что при любом значении р уравнение х+рх+х-1=0 имеет хоть один

X+px+x-1=0
x+x(p+1)-1=0

Уравнение имеет желая бы один корень при D0.

D=(p+1)-4*(-1)=(p+1)+4
(p+1)+40

f(p)=(p+1)+4 - это парабола, ветки которой ориентированы ввысь.
Верхушка параболы (-1; 4).
Парабола не пересекает ось ОХ.
Парабола лежит выше оси ОХ.
Неравенство правильно при любых значениях р.
р(-;+).

Что и требовалось доказать.