при каких отрицательных значениях k ровная y=kx+2 пересекает окружность x^2+(y-4)^2= 2

Подставляем первое уравнение во 2-ое.
x+(kx+2-4)=2
x+(kx-2)=2
x+kx-4kx+4=2
(k+1)x-4kx+2=0
Решаем квадратное уравнение
D=(4k)-4(k+1)*2=16k-8k-8=8k-8=8 (k-1)
Квадратное уравнение имеет два решения когда его дискриминант больше нуля.
k-1gt;0
kgt;1
k lt;-1 либо kgt;1
Ответ: k (-;-1)