Решить уравнение[tex]sqrtx+1+sqrtx+4=sqrt2x+sqrt2x+9[/tex]

ОДЗ: x0. Обозначим левую часть f(x), а правую g(x). Тогда f(0)=g(0).
f'(x)=1/(4x+4)+1/(4x+16) и g'(x)=1/(2x)+1/(2x+9).
Очевидно, что 0lt;f'(x)lt;g'(x) при xgt;0 а означает и f(x)lt;g(x) при xgt;0, т.е. единственный корень х=0.

ОДЗ:





Воспользуемся свойством монотонности функций

- вырастающая
- подрастающая

Их сумма тоже подрастающая функция

подобно в правой доли равенства возрастающая функция

т.е. обе функции однообразно вырастают. Но этого не достаточно чтоб точно определить что у их нет больше точек скрещения.
Необходимо поглядеть с какой "скоростью" они возрастают. Если на всем множестве возможных значений одна функция вырастает быстрее иной то тогда точек скрещения у их не будет .

Для этого найдем производные этих сумм. ( Производная - как раз и указывает скорость возрастания функции) 

Найдем производную левой доли уравнения:



Найдем производную правой части



Сравним наши производные:


Мы лицезреем что:



А означает 1-ая сумма будет меньше чем вторая на интервале (0;+oo)
Значит скорость возрастания правого выражения больше чем левого, означает на интервале от (0;+oo) точек пересечения нет

то если и есть точка скрещения то она только одна и при х=0

Проверим:
Очевидно что при х=0 равенство выполняется



Означает единственным решением будет х=0