Докажите, что при всех целых значениях переменных значение число

5x + 12xy + 9y + 6x + 34

9y + 12xy фактически творят квадрат суммы, дополним это выражение:
9y + 12xy + 4x = (3y + 2x), заметим, что это выражение есть целое число в квадрате.

5x + 12xy + 9y + 6x + 34 = x + (4x + 12xy + 9y) + 6x + 34 = (3y + 2x) + x + 6x + 34

x + 6x также дополняем до полного квадрата:
x + 6x + 9 = (x + 3)

(3y + 2x) + x + 6x + 34 = (3y + 2x) + x + 6x + 9 + 25 = (3y + 2x) + (x + 3) + 25

25 = 5 (целое число в квадрате)

(3y + 2x) + (x + 3) + 25 = (3y + 2x) + (x + 3) + 5

Итак, получившееся выражение однозначно при всех целых x и y можно представить в виде суммы квадратов трёх естественных чисел.