Докажите, что при любом nZ является целым числом значение выражения:

Довольно обосновать что  делиться на 6 при любом целом n. 

Для n=0 утверждение явно.

Докажем по индукции: 

Если n gt; 0, то .
Для n=1 утверждение правильно. Представим что утверждение правильно для некоторого n gt; 1. Докажем утверждение для (n+1). 



Довольно обосновать что  делиться на 2. 

======================================================================
Лемма:
Для всех естественных n, число делиться на 2.

Подтверждение:
Для n=1 утверждение явно. Представим что утверждение правильно для некоторого ngt;1.

Докажем для (n+1):


Следуя предположению, 1-ое слагаемое делиться на 2. Как следует и всё выражение делиться на 2. Отсюда следует что для всех естественных n, число  делиться на 2.
======================================================================

1-ое слагаемое делиться на 6 следуя предположению, 2-ое слагаемое делиться на 3 и на 2 (следуя лемме), т.е. делиться на 6. Откуда и получаем что всё выражение делиться на 6. Как следует, для всех n gt; 0 натуральных, данное выражение делиться на 6.

Если n lt; 0 то , однако мы уже обосновали для всех натуральных, что данное выражение делиться на 6.  
Откуда следует, что всегда существует такое естественное число t, так что:
.

Т.е. утверждение правильно и для отрицательных чисел. 

Ч.Т.Д.