Обоснуйте иррациональность числа:2+корень из 2 и все в корне,корень из 5

1) Пусть число sqrt(2 + sqrt(2)) разумное. Тогда и его квадрат 2 + sqrt(2) разумен. Но это не так, 2 + sqrt(2) сумма разумного и иррационального чисел. Противоречие.

(Подтверждение иррациональности числа sqrt(2): пусть sqrt(2) = m/n, m/n - несократимая дробь, m,n натуральные числа. Возводим в квадрат, домножаем на n^2, получаем m^2 = 2n^2, откуда m чётное. Пусть m = 2M. Подставляем, уменьшаем на 2, получаем n^2 = 2M^2, откуда n тоже чётное, что противоречит предположению о несократимости дроби m/n)

2) Пусть число sqrt(5) + sqrt(2) - 1 рациональное, тогда и sqrt(5) + sqrt(2) тоже рациональное, и (sqrt(5) + sqrt(2))^2 = 5 + 2 + 2sqrt(10) = 7 + 2 sqrt(10) разумное, тогда и sqrt(10) тоже рациональное. Но sqrt(10) иррациональное, противоречие. Означает, sqrt(5) + sqrt(2) - 1 иррациональное.

Иррациональность sqrt(10) доказывается аналогично: sqrt(10) = m/n, m^2 = 10n^2. Дальше можно, наример, точно так же, как и в образце выше, обосновать, что m и n обязаны быть чётными.