Найдите меньшее естественное x, при котором из того, что 17m+6n делится

Если m и n делятся на 31, то 11m+xn делится на 31 при любом x, малый естественный x - это 1. Если m либо n не делится на 31, то и 2-ое из этих чисел не делится на 31, так как иначе 17m+6n не делилось бы на 31. Пусть m и n не делятся на 31 и значит обоюдно ординарны с 31. Если 17m+6n0(mod 31) (то есть 17m+6n делится на 31) и 11m+xn0(mod 31) (в последующем будем опускать (mod 31)), то 
11(17m+6n)-17(11m+xn)0, (66-17x)n0, а так как n обоюдно просто с 31, 
66-17x0; 66-231-17x0; 17x-40; 2(17x-4)0; 34x-80; 34x-31x-80;
3x-80; разгадываем x=13 (313-8=31 делится на 13); огромное количество всех решений описывается формулой x=13+31p; минимальное натуральное из их - это x=13.

Проверим, что на самом деле x=13 подходит. В самом деле, 
11(17m+6n)-17(11m+13n)=-155n=-315n делится на 31, а раз 17m+6n делится на 31, то и 11m+13n делится на 31

Ответ: x=13