Докажите что выражение принимает только положительные значения при любых значениях входящих

преобразуем

(4x^2 - 4xy +y^2 ) -4x +2y+1 +y^2+2 = (2x -y)^2  -2(2x-y) +1 +y^2+2= (2x-y-1)^2 +y^2 +2

все слагаемые  больше  или равны 0

(2x-y-1)^2  gt; 0  

y^2 gt; 0

2 gt;0

означает  выражение воспринимает лишь положительные значения при всех значениях входящих в него переменных

                                              решение:

(2x-y)^2+y^2-2(2x-y)+3=(2x-y)(2x-y-2)+y^2+3
светло,что если произведение в скобках больше нуля, то и все выражение
больше нуля. Рассмотрим случай когда -это выражение меньше нуля
обозначим 2x-y за t.

Тогда при t=1 имеем мнимум одинаковый -1;
но y^2+3gt;1, как следует и вся сумма будет больше нуля.
утвердение подтверждено.