Известно, что 111111....11(n чисел) делится на 7. Доказать, что это число

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной заключительней числа из этого числа без заключительной числа делится на 7 (к примеру, 364 делится на 7, так как 36  (2 4) = 28 делится на 7).

Или использовать модификацию признака деления на 1001=10+1, которое само делится на 7:
Для того, чтоб естественное число делилось на 7 необходимо и довольно, чтоб алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три числа (начиная с единиц) взятых со знаком + и чётных со знаком - делилась на семь (к примеру, число 689255. 1-ая группа со знаком + (689), 2-ая со знаком - (255). Отсюда 689255 = 434. В свою очередь 434 : 7 = 62).

Ещё один признак  берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем последующую (здесь можно взять остаток от дробления на 7 от получившегося числа). И дальше  сначала: умножаем на 3, прибавляем последующую 
Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток  1. Дальше 1 * 3 + 4 = 7.

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (к примеру, 845 делится на 13, так как 84 + (4 5) = 104 делится на 13).