Обоснуйте , что число вида 8n+7 не может быть суммой квадратов

надобно осмотреть остатки от деления квадрата хоть какого числа на 8 , задача симпатичная , но решение написать не успею , если только поближе к полуночи

Найдем какие остатки может давать квадрат естественного числа при дробленьи на 8 , пусть n = t и t = 2k (чётно ) , тогда  n = 4k  , если  4k = 8m +r ,  то r = 4k - 8m r-кратно 4 r = 0 или r = 4  , если  n = 2k +1 ( нечётно) ,то   n = 4k +4k +1 = 4k(k+1) +1 , одно из чисел к либо к+1 четно  4k(k+1) кратно 8      n = 8p +1 остаток при делении n  на 8 равен 1   квадрат натурального числа при дроблении на 8 может дать в остатке  0 , 1  либо 4   если  а  , b , c - квадраты целых чисел ,то каждое из них имеет вид : 8m , 8n+1 либо 8l +4     осталось доказать , что если сложить  3 числа этого типа ( необязательно с различными остатками ) , то никогда не получим число  вида  8n +7  , представим , что это возможно , так как число 8n +7 нечетно ,то в эту сумму обязано войти число вида 8n +1  один либо 3 раза попорядку , но если  сложить 3 числа этого типа , то получим число вида :    z = 8q+3  ( остаток не равен 7 ) , а если число  вида 8n +1 заходит в сумму один раз , то сумма остальных (четных) чисел должна быть одинаковой 8s +6 ,   но это число не кратно 4 , а сумма чисел вида 8m и 8l+4  кратна 4 и это невероятно , что и подтверждает утверждение