Даю 50 баллов. Необходимо вычислить.

В знаменателе суммируются члены, знаменатель которых, в свою очередь, является суммой арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и шагом прогрессии 1. Найдём эту сумму:



Значит, каждый член в знаменателе можно представить так:

, где n = 1, 2, 3, ...

Пробуем вычислять сумму первых членов
n=1;  ; 

n=2; 


n=3; 


n=4; 


Продолжая таким образом, примечаем, что


Докажем этот факт методом математической индукции. 1-ый шаг у нас теснее изготовлен, проверка на первых членах прошла. Предполагаем, что формула верна для n. Докажем, что формула верна для (n+1).
(n+1)-й член имеет вид

Прибавим его к предполагаемой сумме:


Последнее выражение и есть сумма (n+1) членов, если в формулу:

заместо n подставить (n+1).

Итак, обретаем сумму 2013 членов:


В конце концов, вычисляем всё выражение


Всё.