Помогите с номером в линейной алгебре

A(3,0,1) B(1,3,0) C(4,-1,2) D(-4,3,5)

a) Длину отрезка в Декартовой системе можно считать
Если координаты вершин отрезка (x,y,z) и (x,y,z)
То  l=(x-x)+(y-y)+(z-z)

Длина AB=(3-1)+(0-3)+(1-0)=4+9+1=14
AB=14 


б) так же получим AC=3  BC=29
по аксиоме косинусов a = b + c 2bc cos в треугольнике ABC
cos=(b+c-a)/2bc=(14+3-29)/242= -6/42
Так же можно отыскать вектор AB=(1-3,3-0,0-1)=(-2,3,-1)
вектор AC=(4-3,-1-0,2-1)=(1,-1,1)
cos(AB,AC)=(-2*1 + 3*(-1)+(-1)*1)/(-2)+3+(-1))*((-1)+(-1)+1)=
=(-2-3-1)/(14*3)=-6/42

в) Уравнения полосы проходящий через две точки (x,y,z) и (x,y,z)
(x - x)/(x-x) = (y - y)/(y-y) = (z - z)/(z-z)
для A(3,0,1) B(1,3,0)  (x - 3)/(1-3) = (y - 0)/(3-0) = (z - 1)/(0-1)
(2-x)/2=y/3=1-z  =gt; 6-3x=2y=6-6z  

Ответ 6-3x=2y=6-6z

г) A(3,0,1) B(1,3,0) C(4,-1,2) мы теснее отыскали уравнение векторов
AB=(-2,3,-1) и AC=(1,-1,1)
Найдем творенье векторов AB*AC
i      j    k
-2   3  -1
1   -1   1 
найдём определитель матрицы
i(3*1-(-1*(-1))-j*(-2*1-1*(-1))+k*(-2*(-1)-1*3)=2i+j-k
вектором плоскости будет n=(2,1,-1)
Запишем формулу плоскости с вектором n проходящей через точку A(3,0,1)  2*(x-3)+1*(y-0)+(-1)*(z-1)=0
2x-6+y-z+1=0

Ответ 2x+y-z-5=0

д) Из уравнения плоскости ABC 2x+y-z-5=0 получаем обычный вектор из коэффициентов при x,y,z 2,1,-1=a,b,c
для вышины с точки D(-4,3,5) на плоскость назначим временную переменную t
x=x+at
y=y+bt
z=z+ct
где (x,y,z) координаты вершины Получаем

x=-4+2t  =gt;t=(x+4)/2
y=3+t    =gt;  t=y-3
z=5-t    =gt;  t=5-z

(x+4)/2=y-3=5-z это и есть уравнение вышины

Ответ (x+4)/2=y-3=5-z


е)



ж) M середина рёбра AD, N середина BC
формула середины отрезка
x=(x+x)/2 y=(y+y)/2 z=(z+z)/2 где 0 индекс координат середины, а 1 и 2 индексы координат концов отрезка

для AD найдем координаты точки M
x=-1/2  y=3/2  z=3  M(-1/2 , 3/2 , 3)
для BC найдем координаты точки N
x=5/2  y=1  z=1  N(5/2 , 1 , 1)
Координаты вектора MN=(5/2-(-1/2),1-3/2,1-3)=(3,-1/2,-2)

Ответ (3,-1/2,-2)


з)