100 баллов!Изменить порядок интегрирования в двойных интегралах1. интеграл от 0 до

1. Интегрирование ведется по огромному количеству 0 lt; x lt; 1, 0 lt; y lt; (2x-x^2)

(2x - x^2) принимает значения от 0 (x = 0) до 1 (x = 1), так что огромное количество интегрирования является долею множеста 0 lt; x lt; 1, 0 lt; y lt; 1, где производится y lt; (2x - x^2)

0 lt; y lt; (2x - x^2) при 0 lt; x lt; 1 эквивалентно 0 lt; y^2 lt; 2x - x^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - (x-1)^2

т.е. (x-1)^2 lt; 1 - y^2

x - 1 = 1 - x lt; (1 - y^2)

x gt; 1 - (1 - y^2)

Ответ: интеграл от 0 до 1 по dy интеграл от 1 - (1-y^2) до 1 f(x,y) по dx

2. 0 lt; y lt; 1, -(1-y^2) lt; x lt; 1-y

-(1-y^2) воспринимает значения от -1 (y = 0) до 0 (y = 1)

1 - y принимает значения от 0 (y = 1) до 1 (y = 0)

Т.е. область интегрирования: -1 lt; x lt; 1, 0 lt; y lt; 1, где сразу -(1-y^2) lt; x и x lt; 1-y

x lt; 1 - y y lt; 1 - x

-(1-y^2) lt; x :

1) При x gt; 0 - любой y (от 0 до 1)

2) При x lt; 0:

(1-y^2) gt; (-x) gt; 0

1 - y^2 gt; x^2

0 lt; y^2 lt; 1 - x^2

0 lt; y lt; (1 - x^2)

Т.е. начальные условия эквивалентны тому, что:

при x gt;= 0: y lt; 1 - x

при x lt; 0: сразу y lt; (1 - x^2) и y lt; 1 - x, но т.к. (1 - x^2) lt;= 1 - x при x lt; 0, довольно условия y lt; (1 - x^2)

Ответ: (интеграл от -1 до 0 по dx интеграл от 0 до (1 - x^2) f(x,y) по dy) + (интеграл от 0 до 1 по dx интеграл от 0 до 1 - x f(x,y) по dy)

Либо, что то же самое, интеграл от -1 до 1 по dx от 0 до min 1 - x, (1 - x^2) f(x,y) по dy