Графк функц: y=(3-x^2)/(x+2 )Дослдження функц

Функции  и выстроить ее график.

1) Функция определена всюду, не считая точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен условно начала координат. Потому ограничимся исследованием только для 0 x +.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то скрещение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке , причем , . Попутно отметим, что прямая   вертикальная асимптота.

6) Обретаем  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум надобно изучить только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является граничной точкой промежутка [0, +)).

В округи точки x3=3 имеет: ygt;0 при xlt;3 и y lt;0 при xgt;3, как следует, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения малого и наибольшего значения.

7) Находим . Лицезреем, что y=0 только при x=0, при этом ylt;0 при xlt;0 и ygt;0 при xgt;0, как следует, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Время от времени направление вогнутости может поменяться при переходе через разрыв кривой, потому следует узнать символ y и около точек разрыва функции. В нашем случае ygt;0 на интервале (0, ) и ylt;0 на (, +), как следует, на (0, ) кривая вогнута и выпукла на (, ).

Отыскать вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Разыскиваем горизонтальные: , как следует, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: , , как следует, y=-x наклонная двухсторонняя асимптота.

9) Теперь, используя приобретенные данные, строим чертеж: