почему разглядывают конкретно этот просвет?

Я мыслю, не потому. Они пробуют доказать, что функция

имеет на интервале

только один корень.
До этого (в прошлом абзаце) они обосновали, что корней или нет,либо один. Теперь надобно обосновать, что один всё-таки имеется.
Это сделать очень сложно, надо поймать тот момент, когда функция меняет собственный символ. И тогда точно проходит через ноль, то есть, имеет один корень.
Если заместо у брать 1, то итог равен -1, если брать любые числа больше 1, то итог всегда отрицательный. Означает, меняет свой символ функция где-то левее единицы. Надо взять какое нибудь число меньше единицы. Но какое? Меньше нуля нельзя- область определения не дозволяет. Означает , число обязано быть от 0 до 1. А в таком интервале как раз находится число а.
Даже если вместо у подставить число ,,а,, теснее получится положительное число. Можно подставить

как предлагают они, можно даже

главное будет получаться итог больше 0.
А нам это и надобно. И хотя четкого значения корня найти не удалось, но его существование подтверждено.

Таким образом, отвечая на твой вопрос, можно сказать, что левая часть интервала взята ими абсолютно свободно, только бы выполнялось условие положительности.

Х - 2х = а
а в 1-м уравнении под логарифмом стоит (х -2х)