Задание во вложении.

1) Касательная дотрагивается кривой в некой точке x0.
y(x0) = x0^4/2 - x0
y'(x) = 2x^3 - 1; y'(x0) = 2x0^3 - 1
Уравнение касательной
f(x) = y(x0) + y'(x0)*(x - x0) = (x0^4/2 - x0) + (2x0^3 - 1)*(x - x0) = -3x/4 - 3/32
2x0^3 - 1 = -3/4
2x0^3 = 1 - 3/4 = 1/4
x0^3 = 1/8
x0 = 1/2; y(x0) = y(1/2) = (1/16)/2 - 1/2 = 1/32 - 16/32 = -15/32
Посмотрим, не пересекает ли эта касательная кривую в иных точках.
Для этого уравняем обе функции, помня, что корень x0 = 1/2 мы знаем.
x^4/2 - x = -3x/4 - 3/32
x^4/2 - x/4 + 3/32 = 0
16x^4 - 8x + 3 = 0
16x^4 - 8x^3 + 8x^3 - 4x^2 + 4x^2 - 2x - 6x + 3 = 0
(2x - 1)(8x^3 + 4x^2 + 2x - 3) = 0
x1 = 1/2
8x^3 - 4x^2 + 8x^2 - 4x + 6x - 3 = 0
(2x - 1)(4x^2 + 4x + 3) = 0
x2 = 1/2
4x^2 + 4x + 3 = 0 - это уравнение корней не имеет.
Означает, касательная пересекает график кривой только в точке касания:
Ответ: (1/2; -15/32)

2) Угол 135 значит, что касательная имеет угол наклона k = tg 135 = -1,
то есть касательная в этих точках параллельна прямой y = -x.
Пусть это будет некоторая точка (x0; y0)


(x0 - 2)^2 = 4
x0 - 2 = -2; x1 = 0; y1 = (0 + 2)/(0 - 2) = 2/(-2) = -1
x0 - 2 = 2; x2 = 4; y2 = (4 + 2)/(4 - 2) = 6/2 = 3

Ответ: (0; -1); (4; 3)