на дощечке написаны числа 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8,1/8,1/10,1/11,1/12. а) обоснуйте, что

Домножим все числа на 840. Так как сумма чисел одинакова нулю в том и только в том случае, когла сумма домноженных чисел одинакова нулю, то нет различия, для каких чисел подтверждать - для старых или для домноженных.

После домножения будем иметь числа:
840, 420, 280, 210, 168, 140, 120, 105, 105, 84, 840/11, 70

а) Явно, выражение не будет одинаково нулю: из-за того, 840/11 - не целое число, а все остальные - целые, выражение также будет нецелым.
б) 840/11 придется убрать. Кроме того, надобно убрать 84 и 168: все остальные числа делятся на 5, но из 84 и 168 никаким образом не получить число, деляющееся на 5. 

Разделим оставшиеся числа на 35:
24, 12, 8, 6, 4, 3, 3, 2.

Из их можно получить 0, например, таким образом:
24 - 12 - 8 - 6 + 4 - 3 + 3 - 2 = 0

Ответ. б) 3 числа