Сколько существует таких пар целых чисел (x,y), что 1x500, 1y500, x^2+y^27?

Поглядим, сколько чисел (от 1 до 500) делятся на 7 с остатками 0...6:
0  -  71
1  -  72
2  -  72
3  -  72
4  -  71
5  -  71
6  -  71

Поглядим, во что преобразуются эти остатки при возведении в квадрат:
00
11
24
32
42
54
61
Сейчас найдём пары квадратов остатков, которые в сумме делятся на 7 (выбирая из 0, 1, 2, 4) - это только пары 0, 0. Таких чисел(дающих в квадрате 0 по модулю 7) всего 71. Означает, всего пар чисел 71 * 71 = 5041

Ответ: 5041