Всеохватывающее число. Почему i^2(квадрат) = -1 . На каких основаниях так?

К примеру, множество естественных чисел: N = 1; 2; 3; 4...
на нем всегда производится сложение и умножение:
(1+2) N; (300+1000)  N; (5*7)  N
а вот итог вычитания (и тем более разделения) теснее не всегда число естественное... (4-1)  N; (1-4)  N; (1:4)  N
ввели понятие ЦЕЛОЕ число: Z = ...-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4...
(1-4)  Z
"выдумали" дробные числа (огромное количество разумных чисел Q)
(1:4) Q
"выучились" извлекать корни и "пришлось" обрисовывать множество иррациональных чисел, ведь 5  Q
и все это действительные числа (R)
и сейчас последующий "шаг"
корень из отрицательного числа не существует (по определению)
х