Найдите остаток от деления суммы 33 в 33 степени+77 в 77

Итак, представим числа 33 и 77 в виде суммы 10-ов и единиц:
33=30+3, 77=70+7.
Мы лицезреем, что 33^33+77^77=(30+3)^33+(70+7)^77=30^33+3^33+70^77+7^77...
Т.к. 30 и 70 в любой целой положительной степени делятся на 5, акцентировать внимание мы будем лишь на степенные 3 и 7.
Считать ступень очень длинно, да и числа неудобные получатся, потому прибегнем к хитрости...
Будем возводить каждое число на 1 ступень и глядеть как меняется заключительная цифра. Сначала число 3...
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243...
Мы замечаем, что последняя цифра у 3^1 и 3^5 совпадает. Как следует, это закономерность: заключительные числа в ступенях тройки будут 3, 9, 7, 1, а далее они повторяются. Т.е. каждые 4 ступени повторяются ступени. Разделяем степень (33) на число разных заключительных цифр (4) и получаем 8, остаток 1. Обращаем внимание на остаток, ведь 8 - это число повторений... Т.к. остаток - 1, глядим на первую цифру в нашей закономерности... Это 3. Позднее сложим её с цифрой от 7.. Таким же образом находим закономерность заключительных цифр у ступеней семёрки: 7, 9, 3, 1.
77:4= 19(ост.1). Как следует, 1-ая цифра. Это 7. Сейчас складываем 7 и 3 и делим их на 5.
(7+3)/5=10/5=2(ост.0). Делаем вывод, что сумма 33^33 и 77^77 при разделении на 5 дает остаток 0.