Найдите седьмое по счету неотрицательное число n такое, что число 20^(n)+16^(n)3^(n)1

а что если сделать подбором?

при всех нечетных n выражение не делится на 323

в принципе я знаю как, но не знаю как объяснить

323 = 17 * 19, поэтому число должно одновременно делиться на 17 и 19.

Заметим, что если открывать скобки в выражении (a + b)^n, то получится (a^n + n a^(n - 1) b + ...) + b^n разложение по двучлену Ньютона, где каждое слагаемое в скобках делится на a. Означает, (a + b)^n даёт такой же остаток при разделеньи на a, что и b^n.

Используем это наблюдение. Представим выражение в виде (17 + 3)^n + (17 - 1)^n - 3^n - 1. По написанному выше это выражение даёт таковой же остаток при разделении на 17, что и 3^n + (-1)^n - 3^n - 1 = (-1)^n - 1. Для нечётных n заключительнее выражение одинаково -2, для чётных 0. Значит, выражение делится на 17 при чётных n и не делится при нечётных.

Тот же трюк с делимостью на 19: (19 - 1)^n + (19 - 3)^n - 3^n - 1  (-1)^n + (-3)^n - 3^n - 1. Нечётные n нас теснее не заинтересовывают, а при чётных n последнее выражение одинаково 0, так что начальное выражение делится на n.

Суммируем: выражение делится на 323 при чётных n (и только при таких n). Значит, подходят n = 0, 2, 4, .... Седьмое число в этом ряду равно 12.

Ответ. 12.

323 это 17*19
логично что если хоть какое a кратно 17 и a кратно 19 то a кратно 323, поэтому что 17, 19- ординарны числа
с этим полагаюсь понятно
и еще вспомним то что если a кратно m и b кратно m, то и a+b кратно m
и с этим полагаюсь все поняно
 
найдем при каких n 20^(n)+16^(n)3^(n)1  кратно 19 и 17 одновременно 
разложим 20^(n)+16^(n)3^(n)1 2-мя способами
сначала сгруппируем так
[ 20^(n)-1 ] + [ 16^(n)-3^(n) ]
используя Ньютона-Бинома это просто раскладывается так
19[ 20^(n-1)+20^(n-2)+....+20+1 ] + 13[ 16^(n-1)+16^(n-2)*3+...+16*3^(n-2)+3^(n-1) ]
заметим что [ 20^(n)-1 ]  кратно 19 при любом n осталось поглядеть при каких n [ 16^(n)-3^(n) ] кратно 19
13[ 16^(n-1)+16^(n-2)*3+...+16*3^(n-2)+3^(n-1) ]
ну 13 ничего не решает так что отбросим его 
16^(n-1)+16^(n-2)*3+...+16*3^(n-2)+3^(n-1)
ну если все сгруппировать по 2 соседние, т.е.
16^(n-1) c 16^(n-2)*3
ну и так дальше
и там будет
16^(в какой то стпени)(16+3) 
либо начиная с середины когда ступень 3 будет больше ступени 16 
3^(в какой то стпени)(16+3) 
если n будет четно то все сгруппируется, а если n будет нечетное то в конце остается 3^(n-1)
ну и если сделать то же самое но сгруппировать  
[ 20^(n)3^(n) ] + [ 16^(n)1 ]
то мы докажем тоже самое но только для 17
ну и выходит 
n=0;2;4;6;8...
n=12