Найди мне пожалуйста всю информацию по тригономерическим неравенствам. Очень безотлагательно надобно

Простейшими тригонометрическими неравенствами именуются неравенства вида

sinx\vee a,

cosx\vee a,

tgx\vee a,

ctgx\vee a,

где \vee один из знаков lt;,\;gt;,\;\leq,\;\geq, a\in R.

Вы обязаны до этого, конечно, превосходно ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простые тригонометрические уравнения (часть I, часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может понадобиться, к примеру, в заданиях 11 ЕГЭ по арифметике.

Поначалу мы осмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во 2-ой доли статьи с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.
Решить неравенство: cosxlt;\frac12.

Решение:

Отмечаем на оси косинусов \frac12.

Все значения cosx, наименьшие \frac12, левее точки \frac12 на оси косинусов.

87

Отмечаем все точки (дугу, поточнее серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac12.

ен

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac\pi3 до \frac5\pi3.

Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac\pi3, вместо 2-ой точки \frac5\pi3 указывают точку -\frac\pi3, что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

\frac\pi3+2\pi n
Смотрите за тем, чтоб правая/2-ая точка была бы больше левой/первой.

Не забываем накидывать счетчик 2\pi n,\;n\in Z.

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Пример 2.
Решить неравенство: cosx\geq -\frac\sqrt22.

Решение:

Отмечаем на оси косинусов -\frac\sqrt22.

Все значения cosx, большие либо одинаковые -\frac\sqrt22 правее точки -\frac\sqrt22, включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой доводы x отвечают тому условию, что cosx\geq -\frac\sqrt22.

г-\frac3\pi4+2\pi n\leq x\leq \frac3\pi4+2\pi n,\; n\in Z.

Пример 3.
Решить неравенство: sinx\geq -\frac\sqrt32.

Решение:

Отмечаем на оси синусов -\frac\sqrt32.

Все значения sinx, большие либо одинаковые -\frac\sqrt32, выше точки -\frac\sqrt32, включая саму точку.

67

Транслируем выделенные точки на тригонометрический круг:

6 -\frac\pi3+2\pi n \leq x\leq \frac4\pi3+2\pi n,\;n\in Z

Пример 4.
Решить неравенство: sinxlt;1.

Решение:

Коротко:

л

\frac\pi2+2\pi n
либо все x, не считая \frac\pi2+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 5.
Решить неравенство: sinx\geq 1.

Решение:

Неравенство sinx\geq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx [-1;1].

78н

x=\frac\pi2+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 6.
Решить неравенство: sinxlt;\frac13.

Решение:

Деянья аналогичны используемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Тут, окончательно, нужно знать определение арксинуса.

89

\pi -arcsin\frac13+2\pi n
Если не очень понятно, загляните сюда gt;+ показать