Вася записал на дощечке двузначное простое число, а Петя поменял местами

Обозначим число, записанное Васей через 10a+b, а записанное Петей через 10b+a. По условию сумма 10a+b+10b+a = 11a+11b = 11*(a+b) является полным квадратом, как следует a+b = 11. Так как число 10a+b обычное, то b - нечетная цифра. Тогда возможны варианты: b=9, a=2, b=7, a=4, b=3, a=8. При b = 5, a = 6 получаем составное число 65 = 13*5. Т. о. нам подходят три числа 29, 47 и 83. Их сумма равна 159.

Ответ: 29+47+83 = 159.