Выпишите формулы Виета и найдите его корни1) 14x=-49-x^22)36+17X=-2x^2

Аксиома Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а творенье корней одинаково свободному члену:

x1+x2=-p;  x1x2=q.

 Отыскать корешки приведенного квадратного уравнения, используя аксиому Виета.

Пример 1) x2-x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x2+px+q=0), 2-ой коэффициент  p=-1, а свободный член q=-30. Поначалу убедимся, что данное уравнение имеет корешки, и что корешки (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого довольно, чтоб дискриминант был полным квадратом целого числа.

Обретаем дискриминант D=b2 4ac=(-1)2-41(-30)=1+120=121=112.

Сейчас по аксиоме Виета сумма корней должна быть одинакова второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а творенье равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:

x1+x2=1; x1x2=-30. Нам надобно подобрать такие два числа, чтобы их творение было одинаково -30, а сумма  единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.

Пример 2) x2+6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корешки. Найдем дискриминант D1, так как 2-ой коэффициент четное число. D1=32-18=9-8=1=12. Дискриминант D1 является полным квадратом числа 1, означает, корешки данного уравнения являются целыми числами. Подберем корешки по теореме Виета: сумма корней одинакова р=-6, а произведение корней одинаково q=8. Это числа -4 и -2.

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x2+2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении 2-ой коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент четное число. D1=12-1(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, потому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и отыскать их по аксиоме Виета нельзя. Означает, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для приватного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:



Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x1=-7, x2=4.

Решение. Разыскиваемое уравнение запишется в виде: x2+px+q=0, причем, на основании аксиомы Виета p=x1+x2=-7+4=-3  p=3; q=x1x2=-74=-28. Тогда уравнение воспримет вид: x2+3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:



II. Аксиома Виета для полного квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Сумма корней равна минус b, деленному на а, творение корней одинаково с, деленному на а:

x1+x2=-b/a;  x1x2=c/a.

Пример 6). Отыскать сумму корней квадратного уравнения 2x2-7x-11=0.

Решение.

Уверяемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=72-42(-11)gt;0. А сейчас воспользуемся аксиомой Виета для полных квадратных уравнений.

x1+x2=-b:a=- (-7):2=3,5.

Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x2+8x-21=0.

Решение.

Найдем дискриминант D1, так как 2-ой коэффициент (8) является четным числом. D1=42-3(-21)=16+63=79gt;0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по аксиоме Виета произведение корней x1x2=c:a=-21:3=-7.