обоснуйте,что для всех естественных n, n^5+4n делится 5

N^5+4n=n(n^4+4)=
n((n^4+4n^2+4)-4n^2)=
n((n^2+2)^2-(2n)^2)=
n(n^2+2-2n)(n^2+2+2n)

Все естественные (даже целые) числа можно представить в одном из 5 видов:

1) те, которые делятся на 5 (5, 10, 15, 20,..., а если разговаривать о целых, то и 0, - 5, -10,... - каждое 5-ое число такое)

2) те, которые на 1 больше тех, которые делятся на 5 (то есть дают остаток 1 при разделеньи на 5 (6=5+1, 11=10+1,... а также 1=0+1, -4=-5+1, -9=-10+1,...- каждое 5-ое число такое)

3)  те, которые на 2 больше тех, которые делятся на 5 (7=5+2, 12=10+2,... ,2=0+2, -3=-5+2,...)

4)  те, которые на 3 больше тех, которые делятся на 5 (8=5+3,...,
 3=0+3, -2=-5+3,...). Кстати, эти же числа описываются также как те,  которые на 2 меньше тех, которые делятся на 5 (3=5-2, 8=10-2,
13=15-2, ...)

5) те, которые на 4 больше тех, которые делятся на 5, они же те,
 которые на 1 меньше тех, которые делятся на 5 (4=0+4=5-1, 
9=5+4=10-1,...)

Подходящий итог докажем по отдельности для каждой ихз 5 категорий.

1) n=5k  первый множитель в разложении нашего выражения делится на 5

2) n=5k+1 3-я скобка n^2+2n+2=25k^2+10k+1+10k+2+2=
5(5k^2+4k+1) делится на 5

3) n=5k+23-я скобка n^2+2n+2=25k^2+20k+4+10k+4+2=
 5(5k^2+6k+2) делится на 5
 
 4) n=5k+32-ая скобка n^2-2n+2=25k^2+30k+9-10k-6+2=
 5(5k^2+4k+1) делится на 5
 
 5) n=5k+42-ая скобка n^2-2n+2=25k^2+40k+16-10k-8+2=
 5(5k^2+6k+2) делится на 5

Утверждение подтверждено. Кстати, числа были бы немножко гораздо меньше, если в 4-м и 5-м случаях числа представлять в виде n=5k-2 и т=5k-1.
И еще. Утверждение можно было бы доказать методом математической индукции, но об этом как нибудь позже