Знаменито, что если сумма каких-или трёх естественных чисел делится на nn,

Если условие правильно для всех натуральных чисел, то и для целых тоже: это следует, например, из формулы двучлена Ньютона, (np+r)^11 дает таковой же остаток при разделеньи на n, что и r^11. Добавляя необходимое количество n, из хоть какого отрицательное числа можно сделать положительное, и при этом делимость не нарушится.

Применим утверждение из условия на различных числах.
2 + (-1) + (-1) = 0 делится на n
2^11 - 1^11 - 1^11 = 2 * 3 * 11 * 31 - тоже обязано делиться на n

3 + (-2) + (-1) = 0 делится на n
3^11 - 2^11 - 1^11 = 2 * 3 * 7 * 11 * 379 - тоже должно делиться на n.

Из образцов следует, что наибольшее вероятное значение n одинаково 2 * 3 * 11 = 66. Докажем, что 66 подходит.

Осмотрим разность x^11 - x. Докажем, что при целых x она делится на 66.
x^11 - x = x (x^10 - 1) = x (x^5 - 1)(x^5 + 1)
* Делимость на 2: сомножители x, x^5 - 1 различной чётности, потому среди них одно чётное, 2-ое нечётное. Означает. творение делится на 2.
* Делимость на 3: заметим, что x^5 дает таковой же остаток от дробления на 3, что и x (это можно проверить только для чисел 1, 0, -1). Означает, всё творение даёт такой же остаток, что и x (x - 1)(x + 1). Это произведение трёх последовательных чисел. Посреди них непременно найдётся делящееся на 3, тогда всё произведение делится на 3.
* Делимость на 11 гарантирует малая аксиома Ферма (если p - обычное число, то для хоть какого целого a число a^p - a делится на p).
Итак, разность делится на 2, 3, 11, тогда и на 2 * 3 * 11 = 66.

Осталось увидеть, что если a + b + c делится на 66, то и a^11 + b^11 + c^11 делится на 66, так как (a^11 + b^11 + c^11) - (a + b + c) = (a^11 - a) + (b^11 - b) + (c^11 - c) делится на 66, так как каждое слагаемое делится на 66.

Ответ. n = 66.