обоснуйте, что если n - естественное число, то n^2+n+4 не делится

Непосредственной прверкой убеждаемся, что утверждение правильно для всех n от  0 до 10 (0-число не натуральное, но проверка нам пригодится далее). (числа 4,6,10,16,24,34,46,60,76,94 на 11 не делятся)
число представим в виде n*(n+1)+4=Н
Пусть  n=11к+м
где м меньше 11 и больше  или равно  0, а к хоть какое целое. Понятно , что хоть какое число больше 10 можно представить в таком виде.

Н=121к*к+11к*(2м+1)+м*(м+1)+4

Н  может делиться на 11, только если
 м*(м+1)+4
делится на 11, но для всех м меньше 11 мы теснее проверили, что этого быть не может.