Задача 6 В классе 30 человек писали контрольную работу по арифметике.

Пусть пятёрок было p, четвёрок - c, троек - t, двоек - d штук.
Тогда по условию:
5p + 4c + 3t + 2d = 93  (1)
p + c + t + d = 30          (2)
c = 10a                          (3)
p = 2b                           (4)
c gt; t gt; p                        (5)

Вычтем (2) из (1) два раза:
3p + 2c + t = 33.
Согласно (3) c = 0 либо 10.
c = 0 противоречит (5), значит, c = 10.
3p + 20 + t = 33
3p + t = 13.
p - чётное (0 либо 2, больше быть не может).
p = 0, тогда t = 13 (что противоречит (5))
p = 2, тогда t = 7.
Из (2) d = 30 - p - c - t = 30 - 2 - 10 - 7 = 11.
Ответ: 11 двоек, 7 троек, 10 четвёрок, 2 пятёрки.

7) 1-ый фермер желает получить 5 * 990 + 6 * 970 = 10770 зедов, 2-ой - 6 * 980 + 7 * 980 = 12740.
Назначим стоимость за ячмень х, за рожь - у.
Тогда перекупщик отдаст первому фермеру
5х + 6у = 10770, второму -
6х + 7у = 12740.
Вычтем из второго уравнения 1-ое: х + у = 1970. Вычтем новое уравнение из первого 5 раз: у = 920, у = 1970 - 920 = 1050.
Ответ:1050 за ячмень и 920 за рожь.

8) Представим, что мы не можем сделать этого. Разделим на уровне мыслей все карандаши на огромного количества по признаку цвета: "огромное количество 1 цвета", "огромное количество 2 цвета", ... В коробке есть как минимум два разных размера карандашей. Если оба этих размера в разных обильях, то мы отыскали разыскиваемые карандаши. Значит, оба этих размера ("а" и "б")  лежат в одном обилье. Но в остальных обильях карандаши тогда имеют размер, хороший от "а" и "б" (размер "в"). Но тогда мы возьмём карандаш размера "а" из огромного количества, где этот размер лежит с "б", а "в" - из другого. Получили противоречие, и карандаши так достать вероятно.

9) Занумеруем все деньки от 1 января до 31 декабря  числами от 1 до 365 (до 366 для високосного). Тогда 13 число повстречается в 13 денек, в 44 (13 + 31 - январь), в 72 (44 + 28 - февраль), 103, 133, 164, 194, 225, 286, 316, 347 денек (в високосном все числа после 44 на 1 больше).
Чтоб эти числа приходились на один денек недели, нужно, чтоб их остатки от дробления на 7 были одинаковы (запись a = b (mod m) значит, что a и b имеют схожие остатки при дроблении на m):
13 = 6 (mod 7)
44 = 2 (mod 7)
72 = 2 (mod 7) 3 для високосного
103 = 5 (mod 7) 6 для високосного
133 = 0 (mod 7) 1 для високосного
164 = 3 (mod 7) 4 для високосного
194 = 5 (mod 7) 6 для високосного
225 = 1 (mod 7) 2 для високосного
286 = 6 (mod 7) 0 для високосного
316 = 1 (mod 7) 2 для високосного
347 = 4 (mod 7) 5 для високосного
Лицезреем, что никакие остатки не повторяются более трёх раз, потому во всяком году приключается не больше трёх понедельников 13-го числа. Пример: таким будет, к примеру, 2020 год, когда на пн выпадет 13 число в январе, апреле и июле.

10) Пусть цена закупленного продукта была р, тогда одна четверть продавалась за 1,4р, три четверти - за ср:
1 / 4 * 1,4р + 3 / 4 * ср = 1 * 1,2р
1,4 / 4 + 3с / 4 = 6 / 5
с = 3,4 / 3 = 17 / 15. Т.е. три четверти можно продавать по цене 17 / 15 р, тогда прибыль составит 20%.
Если принять 1,4 р за 100% цены, то 17 / 15 * р  подходят х%, где 100 - х - разыскиваемое число процентов. Решим пропорцию:
х = 17000 / (14 * 15) 80,95
Тогда понижение равно 100 - 80,95 = 19,05 = 19,1%.