Существует ли натуральное число, имеющее ровно 2016 делителей

Да, существует.
Это все числа вида р, где р - обычное число, к примеру
2 либо 3.
Примечание: 2 имеет 2016 делителей, 1*2*2*2*...2 (двойка повторена 2015 раз)

В общем виде, это числа вида 

где р, р,..., р(n) - обыкновенные числа, рlt;plt;...lt;p(n)
и (а+1)(b+1)...(q+1)=2016

Т.е. например, число 2 *3 будет иметь 2016 делителей,
т.к. 2 и 3 - обыкновенные числа и (503+1)*(3+1)=504*4=2016