Существует ли естественное число, за которым следующие 13 естественных чисел не

Да, такое число существует.
К примеру, это число 3833 (простое).
Следующее за ним обычное число равно 3847.
Т.о., меж числами 3833 и 3847 лежит ровно 13 составных чисел, т.е. 13 чисел не являющихся простыми.
(см. таблицу обычных чисел до 10000)

А вообщем, существует закономерность расположения рядов  чисел витками (спиралями) с периодом витка спирали одинаковой числу 6. В таких рядах имеются обыкновенные числа.
К таким  рядам относятся, к примеру ряды 6n+1, nN, либо 6n+5, nN+0
3833=6*638+5
3847=6*641+1