Дано 600 точек на плоскости, никакие три из которых не лежат

Сначала докажем, что среднюю линию можно провести через всякую точку из этих 600. Вправду, проведем прямую через любые 2 точки (допустим О и X), выберем на ней положительное направление вдоль вектора , точку О  будем считать началом координат. Т.е. мы получили ось ОХ, которая разбивает всю плоскость на верхнюю и нижнюю полуплоскости. Если в каждой полуплоскости лежит по 299 точек, то это и есть средняя линия. Если в верхней полуплоскости n точек, а в нижней m и, допустим, mlt;n, то повернем прямую ОХ вокруг точки О против часовой стрелки до тех пор, пока она первый раз не пройдет через иную точку ( допустим Y). В итоге такого поворота, количество точек в каждой полуплоскости или остается постоянным, либо уменьшится на 1, или возрастет на 1. Это так, поэтому что никакие 3 точки не лежат на одной прямой. При этом, если в одной полуплоскости число точек возросло на 1, то во 2-ой - уменьшилось на 1, т.к. общее количество точек 598 (не считая тех 2-ух, через которые проходит прямая) остается постоянным. Это означает, что после такового поворота разность меж количеством точек в верхней и нижней полуплоскости или не изменилась, или уменьшилась/возросла на 2.

Так мы продолжаем поворачивать прямую вокруг точки О, проводя ее через последующие точки, до тех пор, пока она не повернется на 180 градусов и возвратится в первоначальное положение. Теперь она проходит через те же точки  О и Х, только сейчас положительное направление оси глядит в обратную от Х сторону. В этой ситуации в верхней полуплоскости будет находиться, наоборот, m точек, а в нижней - n. Т.е. число точек в верхней полуплоскости убавлялось с n до m с шагом не более 1, а в нижней полуплоскости увеличивалось с m до n тоже с шагом не более 1. Соответственно исходная разность  n-m меж количеством точек в верхней полуплоскости и нижней стала сейчас m-n. Заметим, что т.к. m+n=598 - четное число, то n-m - тоже четное и, т.к. разность количеств точек в полуплоскостях изменялась с шагами -2,0,2 с величины n-m до m-n, то в какой-то момент она была одинакова 0.  Это означает, что было положение, когда количество точек в обеих полуплоскостях было схожим, т.е. - это и была средняя линия проходящая через точку О. Итак, количество средних линий не меньше, чем количество непересекающихся пар точек, т.е. не меньше 300 (т.к. через каждую точку проходит средняя линия, и одна ровная проходит ровно через 2 точки).

Если точки размещены в верхушках правильного 600-угольника, то понятно, что средние линии - это прямые, соединяющие диаметрально обратные  точки. Их как раз 300 штук.