Обоснуйте, что для хоть какого числа bamp;gt;= -1 и любого естественного числа

Это     известное неравенство Бернули.
Как  вариант оно  доказывается способом мат   индукции.(для  естественных n)
1)Для  n=1
1+bgt;=1+b (верно тк   наблюдается равенство)
2)Положим   верность утверждения для n=k
(1+b)^kgt;=1+kb
3) Докажем его справедливость   для n=k+1
(1+b)^k+1gt;=1+b(k+1).
ИМеем
(1+b)^kgt;=1+kb
тк   bgt;=-1  то  1+bgt;=0 что   позволяет   умножать обе части неравенства  на  1+b без ужаса конфигурации знака неравенства.
(1+b)^k+1gt;=(1+bk)(1+b)=1+b+bk+b^2*k=1+b(k+1)+b^2*k 
тк b^2*kgt;=0 то    1+b(k+1)lt;=  1+b(k+1)+b^2*k  то   раз справедиво неравенство
(1+b)^k+1gt;=1+b(k+1)+b^2*k
ТО и правильно  неравенство:
(1+b)^k+1gt;=1+b(k+1)
.    ТО   в силу принципа математической индукции   неравенство является верным.  
Чтд.