Докажите, что последовательность данная формулой сn=(3n-1)/(5n+4) монотонно вырастающая и

Найдем разность меж 2-мя примыкающими членами.

Из выражения для разности явно, что сама разность положительна - числитель и знаменатель положительны. Тогда последовательность подрастающая.

Я утверждаю, что все члены не больше 3/5. Вправду, cn lt; 3n / 5n = 3/5 (я уменьшила знаменатель и увеличила числитель, от этого дробь стала больше). Для успокоения можно всё написать по-честному:


К слову, удалось обосновать, что разыскиваемый предел равен 3/5: понятно, что 17/(25n + 20) устремляется к нулю при великих n. А по определению число А величается пределом последовательности xn, если xn - A устремляется к нулю.

Отыскать предел можно было и так: разделим числитель и знаменатель на n

Подставляя значения n=1, 2, ..., n, ....
убеждаемся, что последовательность вырастающая.

Находим предел (при n устремляющемся к бесконечности)

lim ((3*n-1)/(5*n+4)) = 3/5 - последовательность  ограниченная и устремляется к числу 3/5