Отыскать размеры цилиндрического бака без крышки, на изготовка которого, при заданном
Отыскать размеры цилиндрического бака без крышки, на изготовка которого, при данном объеме V, пойдет наименьшее количество материала
Задать свой вопрос
Андрей Гудованцев
Объём известен?
1 ответ
Бутман
Елизавета
Наименьшее количество материала будет нужно на цилиндрический бак меньшей площади. Площадь нашего бака - это площадь боковой поверхности цилиндра плюс площадь основания, то есть
Задачка сводится к поиску минимума функции S, описывающей эту площадь. Для этого необходимо перейти от функции двух переменных к функции одной переменной.
Размеры цилиндра зависят от двух величин - его вышины и радиуса основания. Выразим высоту цилиндра через знаменитый нам объём и радиус из формулы объёма цилиндра:
Тогда
Для того, чтоб найти минимум функции необходимо отыскать её производную и те точки, в которых она одинакова нулю.
![S'(R)=-\frac2VR^2+2\pi R\\2\pi R-\frac2VR^2=0\\\frac2\pi R^2-2VR^2=0\\R\neq0\\2\pi R^3-2V=0\\R=\sqrt[3]\fracV\pi](https://tex.z-dn.net/?f=S%27%28R%29%3D-%5Cfrac%7B2V%7D%7BR%5E2%7D%2B2%5Cpi+R%5C%5C2%5Cpi+R-%5Cfrac%7B2V%7D%7BR%5E2%7D%3D0%5C%5C%5Cfrac%7B2%5Cpi+R%5E2-2V%7D%7BR%5E2%7D%3D0%5C%5CR%5Cneq0%5C%5C2%5Cpi+R%5E3-2V%3D0%5C%5CR%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7BV%7D%7B%5Cpi%7D%7D "S'(R)=-\frac2VR^2+2\pi R\\2\pi R-\frac2VR^2=0\\\frac2\pi R^2-2VR^2=0\\R\neq0\\2\pi R^3-2V=0\\R=\sqrt[3]\fracV\pi")
Осталось подставить в это выражение значение объёма V, вычислить радиус и убедиться в том, что это точка минимума - при прохождении через эту точку производная должна поменять знак с минуса на плюс. Здесь так и происходит. Найдём высоту цилиндра
![h=\fracV\pi R^2=\fracV\pi\left(\sqrt[3]\fracV\pi\right)^2](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Cfrac%7BV%7D%7B%5Cpi+R%5E2%7D%3D%5Cfrac%7BV%7D%7B%5Cpi%5Cleft%28%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7BV%7D%5Cpi%7D%5Cright%29%5E2%7D "h=\fracV\pi R^2=\fracV\pi\left(\sqrt[3]\fracV\pi\right)^2")
Задачка сводится к поиску минимума функции S, описывающей эту площадь. Для этого необходимо перейти от функции двух переменных к функции одной переменной.
Размеры цилиндра зависят от двух величин - его вышины и радиуса основания. Выразим высоту цилиндра через знаменитый нам объём и радиус из формулы объёма цилиндра:
Тогда
Для того, чтоб найти минимум функции необходимо отыскать её производную и те точки, в которых она одинакова нулю.
Осталось подставить в это выражение значение объёма V, вычислить радиус и убедиться в том, что это точка минимума - при прохождении через эту точку производная должна поменять знак с минуса на плюс. Здесь так и происходит. Найдём высоту цилиндра
Дарья Слепышкова
спасибо большое! очень помогли!
, оставишь ответ?
Похожие вопросы
-
Вопросы ответы
Новое
NEW
Статьи
Информатика
Статьи
Последние вопросы
Имеются три конденсатора емкостью С1=1мкФ, С2=2мкФ и С3=3мкФ. Какую наименьшую емкость
Физика.
Из точки м выходят 3 луча MP MN и MK причём
Геометрия.
выпиши в свою тетрадь те правила этикета которые тебе не были
Разные вопросы.
Анна хорошо учится у неё много подруг свободное от учёбы время
Обществознание.
10) Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 52 р. За 8
Математика.
Во сколько раз число атомов кислорода в земной коре больше числа
Химия.
Составить монолог от имени дневника двоечника 7-10 предложений
Русский язык.
Рассматривая литературный язык как сложное взаимодействие книжного языка и разговорного,В.И.Чернышёв горячо
Разные вопросы.
Арабы входят в __________________ групп народов. Местом расселения арабов с незапамятных
Разные вопросы.
Грузовой автомобиль марки краз за одну поездку может доставить 7.500 кирпичей
Математика.
Облако тегов