отыскать интервалы возрастания и убывания функции, минимумы и максимумы

Сперва найдём производную:

Функция добивается локальных экстремумов (вероятных максимумов и минимумов), когда производная одинакова нулю:

Решаем это уравнение. Тогда экстремумы достигаются при x=0, x = 1/6
При x = 0 имеем y = 1
При x=1/6 имеем y = 12 * (1/6)^3 - 3 * (1/6)^2 + 1 = 2/36 - 3/36 +1 = 35/36

Далее, функция вырастает, когда y'gt;0:

То есть при x лежащих в промежутках (-inf,0) и (1/6,+inf).

Функция убывает, когда y'lt;0:

То есть при x лежащих в интервалах (0,1/6)

Возвратимся к эсктремумам. Так как при xlt;0 функция возрастает, а справа от нуля при xgt;0 начинает убывать, то x=0, y=1 - локальный максимум.

Так как при xlt;1/6 функция убывает, а при xgt;1/6 возрастает, то x=1/6, y=35/36 - локальный минимум.