докажите что если abcd = 1 то (a +1)(b + 1)(c

Утверждение правильно при положительных переменных.

Раскрыв скобки, мы найдем члены:

abcd+1 =2

ad+ac+ab+cd+cb+db. больше или одинаково 6

abc+abd+adc+bdc+d+c+a больше или одинаково 8.

Просуммировав  получим требуемое неравенство.

Утверждения про больше или равно 6 и 8 доказываются на базе известного неравенства при х больше 0  (х+1/х) больше или одинаково 2  (доказывается тривиально : обе части множатся на х и выходит (х-1) в квадрате больше или одинакова 0)

Чтоб свести задачу к этому неравенству, группируем суммы:

(abc+d)+(abd+c)+(adc+b)+(bdc+a)   больше или одинаково 8

и  (ad+св)+(ac+db)+(ab+cd)  больше или одинаково 6.

Равенство  достигается, явно, когда все переменные одинаковы 1.