В четырёх значном числе зачеркнули первую цифру и новое число стало

Обозначим исходное число через 1000a+100b+10c+d, а приобретенное после вычеркивания первой числа через 100b+10c+d. Тогда по условию 1000a+100b+10c+d = 5(100b+10c+d) = 500b+50c+5d. Отсюда 1000a-400b-40c-4d=0 или  4(250a-100b-10c-d)=0. Означает 250a-100b-10c-d = 0 либо 250a-100b-10c = d. Отсюда 10(25a-10b-c) = d. Равенство производится только при d = 0, означает 25a-10b-c = 0. Тогда 25a-10b = c и 5(5a-2b) = c. Равенство производится только при c = 5 и   5a-2b = 1. Отсюда 5a = 1+2b. Означает a = 1, b = 2 и a = 3, b = 7. Имеем варианты a = 1, b = 2, c = 5, d = 0 и a = 3, b = 7, c = 5 и d = 0. Т. е. всего два числа 1250 и 3750.

Ответ: Два числа: 1250 и 3750.