Найдите меньшее значение выражения y+3xy+x+y1, где х и у - произвольные

Приравняем наше значение к параметру а, потом обе доли приравняем к у. Получилась система уравнений. Решим эту систему графически, осмотрев четыре области плоскости, ограниченные прямыми у=0, у=3х и х+у=1, беря во внимание, что уgt;0. Графиком первого уравнения будет точка с координатами (0,25; 0,75). Значит эта точка и будет решением, при х=0,25 и у=0,75 значение выражения одинаково 0,75.
Ответ: 0,75.
График и осмотренные области во вложении.

Представим выражение в виде y + y - 3x + y - (1 - x).
Геометрический смысл модуля: a - b расстояние между точками a и b на числовой прямой.

Пусть x таковой, при котором достигается минимум. Обозначим x1 lt;= x2 lt;= x3 значения 0, 3x, 1 - x  в порядке возрастания. Нужно отыскать такой y, что сумма расстояний до трёх точек x1, x2, x3 минимальна. Я утверждаю, что минимум будет достигнут, если y = x2.

Действительно, пусть y gt; x3 gt;= x2. Сдвинем точку немножко на лево. Все расстояния уменьшатся, тогда сумма тоже уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x3.

Если x3 gt;= y gt; x2, тоже сдвинем точку немного левее. Сумма расстояний до точек x2 и x3 постоянна и одинакова x3 - x2, а расстояние до x1 уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x2.

Рассуждая точно так же о движении справа от x2, получаем, что в точке x2 достигается минимум, причём этот минимум равен x3 - x1.

Итак, нам удалось избавиться от y. Нужно решать такую задачку:
Отыскать минимум выражения f(x) = max(0, 3x, 1 - x) - min(0, 3x, 1 - x).

Перебираем случаи. 

1) 3x максимум. Тогда 3x gt;= 0, 3x gt;= 1 - x.
1-ое неравенство: x gt;= 0
Второе неравенство: 4x gt;= 1; x gt;= 1/4.
Результат: так будет при x gt;= 1/4.
а) 0 минимум. 0 lt;= 1 - x, x lt;= 1. Так будет при x из отрезка [1/4, 1].
f(x) = 3x - 0 = 3x подрастающая функция, минимум достигается в левом конце отрезка. min = f(1/4) = 3 * 1/4 = 3/4
б) 1 - x минимум. Так будет при x gt;= 1.
f(x) = 3x - (1 - x) = 4x - 1 подрастает, минимум достигается в x = 1, min = f(1) = 3.

2) 1 - x максимум. (1 - x gt;= 3x, 1 - x gt;= 0. Тогда x lt;= 1/4)
а) 0 минимум (0 lt;= 3x, всё это выполнено, если x в отрезке [0, 1/4])
f(x) = 1 - x - 0 = 1 - x убывающая функция, минимум в правом конце отрезка.
min = f(1/4) = 1 - 1/4 = 3/4.
б) 3x минимум (x lt;= 0).
f(x) = 1 - x - 3x = 1 - 4x убывающая функция, минимум в правом конце отрезка.
min = f(0) = 1.

3) 0 максимум. Ничего интересного не будет, два варианта выше теснее покрыли все вероятные x.

Избираем из четырёх значений меньшее, это 3/4.

Ответ. 3/4